题目描述

在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为mrn(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。 需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。 例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为: (4⊕1)=1023=60。 这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=1023+1035+10510=710。

输入格式

输入文件energy.in的第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<N时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。 至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出文件energy.out只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*10^9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入 #1

4
2 3 5 10

输出 #1

710

分析

​非常明显,这题打区间dp

​首先,我们可以发现项链是一个环,直接在环上进行区间dp会使难度上升几倍,于是我们可以将这个环展开,变成一条链,也就是先把环看作一个链,在这个链后面连接一条相同的链

for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);
    a[n+i]=a[i];
}

​接下来就要进行区间dp,由于我们要求出所可以获得的最大能量,从不同的点开始dp会导致不同的结果,所以说我们要遍历链上每一个点,将每一个点作为起点进行区间dp。然后我们要确定左右端点,设i为起点,可得r=l+i-1

​区间dp的转移方程十分简单,我们定义dp[l][r]表示从lr可以获得的最大能量,a[i]代表第i颗珠子与其它珠子碰撞所释放的能量,在lr之间遍历变量k作为分割点,易得如下方程

dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[k]*a[r]);

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[205],f[205][205];
int main(){
    freopen("energy.in","r",stdin);
    freopen("energy.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[n+i]=a[i];
    }
    for(int i=2;i<=n+1;i++){
        for(int l=1;l+i-1<=2*n;l++){
            int r=l+i-1;
            for(int k=l+1;k<=l+i-2;k++){
                f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k][r]+a[l]*a[k]*a[r]);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,f[i][n+i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
最后修改:2020 年 09 月 12 日 05 : 57 PM
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